Question

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与坐标轴分别交于A，B两点，过A、B两点的抛物线为y=-x²+bx+c．
（1）求抛物线的解析式
（2）直接写出该抛物线顶点M的坐标，求出线段MB的长度．
（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得它到线段AB两端的距离相等，即使得PA=PB，若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
（2）利用配方法求出顶点M的坐标，利用两点间的距离公式即可解决问题．
（3）求出线段AB的中垂线的解析式，利用方程组求出与抛物线的交点即可．

解答 解：（1）∵直线y=x+3与坐标轴分别交于A，B两点，
∴A（-3，0），B（0，3），
把A、B两点坐标代入y=-x²+bx+c得到$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-9-3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3．

（2）∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴顶点M（-1，4），∵B（0，3），
∴BM=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．

（3）由题意点P在线段AB的垂直平分线上，
∵直线AB的解析式为y=x+3，AB的中点坐标（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
设线段AB的中垂线的解析式为y=-x+b，则有$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$+b，
∴b=0，
∴线段AB的中垂线的解析式为y=-x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}}\\{y=\frac{1-\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}}\\{y=\frac{1+\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$，
∴满足条件的点P坐标为（$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$）或（$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、两点之间的距离公式、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．