Question

15．如图，己知抛物线y=ax²+bx-2与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，在△ABC中，tan∠OAC=2，S_△ABC=4，
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点E在x轴上，点F在抛物线上，如果A，C，E，F四点构成平行四边形，请直接写出点E的坐标（不必书写计算过程）

Answer 1

分析 （1）先求出C点坐标得到OC=2，再在Rt△OAC中利用正切定义求出OA，从而得到A点坐标，然后利用三角形面积公式求出AB，从而得到B点坐标；
（2）设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a即可；
（3）如图，先确定抛物线的对称轴为直线x=1，分类讨论：当AC为对角线，利用AE₁∥CF₁得到F₁（2，-2），则有AE₁=CF₁=2，于是可得到E₁点坐标；当AC为边，平行四边形为ACFE时，利用AE₂∥CF₂同样可得AE₂=CF₂=2，易得E₂点的坐标；当AC为边，平行四边形为ACEF时，利用平行四边形的性质可判断点F和点C到x轴的距离相等，则点F的纵坐标为2，再计算函数值为2所对应的自变量的值得到F₃（1-$\sqrt{7}$，2），F₄（1+$\sqrt{7}$，0），然后利用平移和确定点E₃和点E₄的坐标．

解答 解：（1）当y=0时，y=ax²+bx-2=-2，则C（0，-2），
在Rt△OAC中，∵tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$，
∴OA=$\frac{OC}{2}$=1，
∴A（-1，0）；
∵S_△ABC=4，
∴$\frac{1}{2}$•AB•2=4，解得AB=4，
∴OB=3，
∴B（3，0）；
（2）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把C（0，-2）代入得a•1•（-3）=-2，
解得a=$\frac{2}{3}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2；
（3）如图，抛物线的对称轴为直线x=1，
当AC为对角线，∵AE₁∥CF₁，即CF₁平行x轴，
∴点C和点F₁关于直线x=1对称，
∴F₁（2，-2），
∴AE₁=CF₁=2，
∴E₁（-3，0）；
当AC为边，平行四边形为ACFE时，则AE₂∥CF₂，同样可得AE₂=CF₂=2，则E₂（1，0）；
当AC为边，平行四边形为ACEF时，则点F和点C到x轴的距离相等，所以点F的纵坐标为2，
若y=2，则$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2=2，
解得x₁=1+$\sqrt{7}$，x₂=1+$\sqrt{7}$，
则F₃（1-$\sqrt{7}$，2），F₄（1+$\sqrt{7}$，0），
∵点A向右平移1个单位，向下平移2个单位得到C点，
∴点F向右平移1个单位，向下平移2个单位得到E点，
∴E₃（2-$\sqrt{7}$，0），E₄（2+$\sqrt{7}$，0），
综上所述，满足条件的E点坐标为（-3，0），（1，0），（2-$\sqrt{7}$，0），（2+$\sqrt{7}$，0）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，掌握点平移的坐标规律；会利用三角函数的定义进行几何计算；能运用分类讨论的思想解决数学问题．