Question

15．如图，矩形ABCD中，tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，点E在AB上，点F在CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，且EH∥BC，则AG：GH：HC=3：2：3．

Answer 1

分析 连接EF交AC于O，由四边形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE=OF，由于四边形ABCD是矩形，得到∠B=∠D=90°，AB∥CD，通过△CFO≌△AOE，得到AO=CO，根据△AOE∽△ABC，即可得到结果．

解答 解；连接EF交AC于O，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE=OF，OG=OH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO与△AOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCO=∠OAB}\\{∠FOC=∠AOE}\\{OF=OE}\end{array}\right.$，
∴△CFO≌△AOE，
∴AO=CO，
∴AG=CH，
∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴$\frac{OE}{AO}=\frac{BC}{AB}=tan∠BAC$=$\frac{1}{2}$，
∵HE∥BC，
∴∠AEH=90°，
∴∠HEO=∠GEO=∠BAC，
∴$\frac{OG}{OE}=\frac{1}{2}$，
∴AO=4OG，
∴AG═CH=3OG，
∵CH=2OG，
∴AG：GH：HC=3：2：3，
故答案为：3：2：3．

点评 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用定理是解题的关键．