Question

10．如图是抛物线y₁=ax²+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y₂=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax²+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（-1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y₂＜y₁，
其中正确的是①③⑤．

Answer 1

分析 利用对称轴是直线x=1判定①；利用开口方向，对称轴与y轴的交点判定a、b、c得出②；利用顶点坐标和平移的规律判定③；利用对称轴和二次函数的对称性判定④；利用图象直接判定⑤即可．

解答 解：∵对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴2a+b=0，①正确；
∵a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，②错误；
∵把抛物线y=ax²+bx+c向下平移3个单位，得到y=ax²+bx+c-3，
∴顶点坐标A（1，3）变为（1，0），抛物线与x轴相切，
∴方程ax²+bx+c=3有两个相等的实数根，③正确；
∵对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点是（4，0），
∴与x轴的另一个交点是（-2，0），④错误；
∵当1＜x＜4时，由图象可知y₂＜y₁，
∴⑤正确．
正确的有①③⑤．
故答案为：①③⑤．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．