Question

20．如图，P是△ABC斜边AB上的动点（点P不与点A、B重合），∠C=90°，∠B=45°，过点P的直线截△ABC，使所截得的三角形与△ABC相似，当$\frac{BP}{BA}$的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{1}{2}$时，所截得的三角形面积为△ABC面积的$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由于∠PBQ=∠ABC，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，当∠BPQ=∠A时，△BPQ∽△BAC，利用相似三角形的性质计算BP与AB；当∠BPQ=∠C时，△BPQ∽△BQP，然后利用相似三角形的性质得到BP与BC的关系，再利用等腰直角三角形的性质得到BC和AB的关系，从而得到BP和AB的关系．

解答 解：∵∠PBQ=∠ABC，
∴当∠BPQ=∠A时，△BPQ∽△BAC，此时$\frac{{S}_{△BPQ}}{{S}_{△BAC}}$=（$\frac{BP}{BA}$）²=$\frac{1}{2}$，则$\frac{BP}{BA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当∠BPQ=∠C时，△BPQ∽△BQP，此时$\frac{{S}_{△BPQ}}{{S}_{△BAC}}$=（$\frac{BP}{BC}$）²=$\frac{1}{2}$，则$\frac{BP}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，而BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，所以$\frac{BP}{BA}$=$\frac{1}{2}$，
综上所述，当$\frac{BP}{BA}$的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{1}{2}$时，所截得的三角形面积为△ABC面积的$\frac{1}{2}$．
故答案为为$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰直角三角形的性质和分类讨论思想的运用．