题目内容
【题目】一个四位数，若首位和末位都是1，称这样的数为“首尾双一数”，例如：1231，1581，1941等都是“首尾双一数”．
（1）证明：一个“首尾双一数”与它去掉首位和末位后得到的两位数的3倍的差能被7整除；
（2）给定一个“首尾双一数”n，记D（n）＝
，求满足D（n）是完全平方数，且n的所有位数上的数字之和为偶数的所有n．
【答案】（1）见解析；（2）满足条件的n为1221或1971．
【解析】
（1）设出“首尾双一数”，进而表示出它，以及去掉首位和末位得到的两位数，即可得出结论；
（2）设出“首尾双一数”，进而得出D（n）＝99+10a+b，再判断出D（n）的范围，利用完全平方数，即可求出n，最后判断即可得出结论．
解：（1）设“首尾双一数”为
，（0＜a≤9，0≤b≤9的整数），
则“首尾双一数”为1000+100a+10b+1＝1001+100a+10b，
去掉首位和末位后得到的两位数为10a+b，
∴1001+100a+10b﹣3（10a+b）＝1001+100a+10b﹣30a﹣3b＝1001+70a+7b＝7（143+10a+b），
∵0＜a≤9，0≤b≤9的整数，
∴143+10a+b为整数，
∴1001+100a+10b﹣3（10a+b）能被7整除，
即：一个“首尾双一数”与它去掉首位和末位后得到的两位数的3倍的差能被7整除；
（2）设一个“首尾双一数”n为，（0≤a≤9，0≤b≤9的整数），则n＝1001+100a+10b，
∴D（n）＝
＝
＝99+10a+b，
∵0≤a≤9，0≤b≤9的整数），
∴99≤99+10a+b≤198，
∴①99+10a+b＝100，
∴10a+b＝1，
∴a＝0，b＝1，
∴n＝1011，
而1+0+1+1＝3是奇数，不是偶数，不符合题意，
②99+10a+b＝121，
∴10a+b＝22，
∴a＝2，b＝2，
∴n＝1221，
而1+2+2+1＝6是偶数，符合题意，
③99+10a+b＝144，
∴10a+b＝45，
∴a＝4，b＝5，
∴n＝1451，
而1+4+5+1＝11是奇数，不是偶数，不符合题意，
④99+10a+b＝169，
∴10a+b＝70，
∴a＝7，b＝0，
∴n＝1701，
而1+7+0+1＝9是奇数，不是偶数，不符合题意，
⑤99+10a+b＝196，
∴10a+b＝97，
∴a＝9，b＝7，
∴n＝1971，
而1+9+7+1＝318是偶数，符合题意，
即：满足条件的n为1221或1971．
