Question

17．如图是抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，5）且与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①a-b+c＞0；
②2a+b=0；
③b²-4ac＞0；
④一元二次方程ax²+bx+c=5有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①正确．根据x=-1时，y＞0，即可判断．
②正确．根据对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=1，即可判断．
③正确．根据抛物线与x轴有两个交点，可知△＞0，即可判断．
④错误．根据抛物线的顶点坐标为（1，5），直线y=5与抛物线的只有一个交点，推出一元二次方程ax²+bx+c=5有相等的实数根，由此即可判断．

解答 解：由图象可知，x=-1时，y＞0，
∴a-b+c＞0，故①正确．
∵抛物线的对称轴x=1，
∴-$\frac{b}{2a}$=1，
∴-b=2a，
∴2a+b=0．故②正确．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴b²-4ac＞0，故③正确．
∵抛物线的顶点坐标为（1，5），
∴直线y=5与抛物线的只有一个交点，
∴一元二次方程ax²+bx+c=5有相等的实数根，∴④错误．
故选C．

点评 本题考查二次函数与x轴的交点、二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．