Question

如图，已知动点A在函数的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC．直线DE分别交x轴于点P，Q．当QE：DP=4：9时，图中阴影部分的面积等于　　．

Answer 1

试题分析：过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EF⊥y轴于点F．令A（t，），则AD=AB=DG=，AE=AC=EF=t，则图中阴影部分的面积=△ACE的面积+△ABD的面积=t²+×，因此只需求出t²的值即可．先在直角△ADE中，由勾股定理，得出DE=，再由△EFQ∽△DAE，求出QE=，△ADE∽△GPD，求出DP=：，然后根据QE：DP=4：9，即可得出t²=．
解：解法一：过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EF⊥y轴于点F．

令A（t，），则AD=AB=DG=，AE=AC=EF=t．
在直角△ADE中，由勾股定理，得DE==．
∵△EFQ∽△DAE，
∴QE：DE=EF：AD，
∴QE=，
∵△ADE∽△GPD，
∴DE：PD=AE：DG，
∴DP=．
又∵QE：DP=4：9，
∴=：=4：9，
解得t²=．
∴图中阴影部分的面积=AC²+AB²=t²+×=+3=．
解法二：∵QE：DP=4：9，
设QE=4m，则DP=9m，
设FE=4t，则GP=9t，
∴A（4t，），
由AC="AE" AD=AB，
∴AE=4t，AD=，DG=，GP="9t"
∵△ADE∽△GPD，
∴AE：DG=AD：GP，
4t：=：9t，即t²=，
图中阴影部分的面积=4t×4t+××=．
故答案为：．
点评：本题考查了反比例函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．根据QE：DP=4：9，得出t²的值是解题的关键．