Question

18．如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则$\frac{OE}{BF}$等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{2\sqrt{5}}{3}$

Answer 1

分析 由四边形ABCD是正方形，证得△ADE≌△BAF，进而证得BF=AE，利用两角对应相等易得△AOE∽△ABF，那么$\frac{OE}{BF}=\frac{AE}{AF}$  问题得解．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠B=90°，
∵DE⊥AF，
∴∠ADE+∠DAO=∠DAO+∠OAF=90°
∴∠ADE=∠OAE，
在△ADE和△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠OAF}\\{AD=AB}\\{∠DAE=∠ABF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BAF，
∴BF=AE，
∵AE=$\frac{1}{2}$AB，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB，
设BF=1，则AB=2，
∴AF=$\sqrt{5}$，
∵∠AOE=∠B=90°．
∠OAE=∠FAB，
∴△AOE∽△ABF，
∴$\frac{OE}{BF}=\frac{AE}{AF}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故选C．

点评 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和相似三角形的判定与应用；把所求的线段的比进行相应的转移是解决本题的关键．