Question

2．二次函数y=$\frac{2}{3}{x^2}$的图象如图所示，点A₀位于坐标原点，点A₁，A₂，A₃，…，A₁₀₀在y
轴的正半轴上，点，B₂，B₃，…，B₁₀₀在二次函数y=$\frac{2}{3}{x^2}$位于第一象限的图象上，若△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₉₉B₁₀₀A₁₀₀都为等边三角形，则B₁₀₀的坐标为$（{50\sqrt{3}，5000}）$．

Answer 1

分析 分别过B₁，B₂，B₃作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设A₀A₁=a，A₁A₂=b，A₂A₃=c，则AB₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，BB₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，CB₃=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，再根据所求正三角形的边长，分别表示B₁，B₂，B₃的纵坐标，逐步代入抛物线y=$\frac{2}{3}$x²中，求a、b、c的值，得出规律．

解答 解：分别过B₁，B₂，B₃作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，
设A₀A₁=a，A₁A₂=b，A₂A₃=c，则AB₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，BB₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，CB₃=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
在正△A₀B₁A₁中，B₁（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{a}{2}$），
代入y=$\frac{2}{3}$x²中，得$\frac{a}{2}$=$\frac{2}{3}$•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）²，解得a=1，
∴B₁（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
在正△A₁B₂A₂中，B₂（$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，1+$\frac{b}{2}$），
代入y=$\frac{2}{3}$x²中，得1+$\frac{b}{2}$=$\frac{2}{3}$•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$b）²，解得b=2，
∴B₂（$\sqrt{3}$，2），
在正△A₂B₃A₃中，B₃（$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，3+$\frac{c}{2}$），
代入y=$\frac{2}{3}$x²中，得3+$\frac{c}{2}$=$\frac{2}{3}$•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$c）²，解得c=3，
∴B₃（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{9}{2}$），
…，
由此可得B₁₀₀的坐标为$（{50\sqrt{3}，5000}）$．
故答案为$（{50\sqrt{3}，5000}）$．

点评 本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据正三角形的性质表示点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律．