Question

16．如图，抛物线y=mx²-4m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OC=2OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使x轴平分∠PAC，若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0，得mx²-4m=0，解得x=±2，可得OA=2，根据OC=2OA，求出点C坐标即可解决问题．
（2）存在．如图，点C关于x轴的对称点C′（0，4），直线AC′与抛物线的交点即为点P，求出直线AC′的解析式，解方程组即可解决问题．

解答 解：（1）令y=0，得mx²-4m=0，解得x=±2，
∴A（-2，0），B（2，0），
∵OC=2OA，OA=2，
∴OC=4，
∴点C坐标（0，-4），
∴-4m=-4，
∴m=1，
∴抛物线解析式为y=x²-4．

（2）存在．
理由：如图，点C关于x轴的对称点C′（0，4），

∵AO⊥CC′，OC=OC′，
∴∠C′AO=∠CAO，
∴直线AC′与抛物线的交点即为所求的点P．
设直线AC′的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AC′解析式为y=2x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+4}\\{y={x}^{2}-4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=12}\end{array}\right.$，
∴点P坐标为（4，12）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用解方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．