题目内容

13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12，BC=6，点H在边AB上，且BH=8，连接HC，动点F以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿边BH向点H运动，此时直线FG∥BC交HG于点G，记x秒时，FG的长度为y
（1）求出y关于x的函数解析式；
（2）向上平移线段FG至DE，点D在边AB上，点E在边AC上，连接EG，得矩形DEGF，记矩形DEGF的面积为S，求出S关于x的函数解析式，并计算当x为何值时，S有最大值．

分析 （1）由题意得：BF=2x，根据FG∥BC证得△HFG∽△HBC，列比例式得出y与x的函数解析式；
（2）先根据同角的三角函数值列比例式表示AD的长，根据矩形的面积=长×宽，列式得S与x的关系式，求最值即可．

解答 解：（1）由题意得：BF=2x，则FH=8-2x，
∵FG∥BC，
∴△HFG∽△HBC，
∴$\frac{HF}{HB}$=$\frac{FG}{BC}$，
∴$\frac{8-2x}{8}=\frac{y}{6}$，
∴8y=6（8-2x），
y=-$\frac{3}{2}$x+6；
（2）DE=FG=-$\frac{3}{2}x$+6，
tan∠A=$\frac{DE}{AD}=\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{-\frac{3}{2}x+6}{AD}$=$\frac{6}{12}$，
∴AD=-3x+12，
∴DF=AB-AD-BF=12-（-3x+12）-2x=x，
∴S=S矩形DEGF=FG•DF=x（-$\frac{3}{2}$x+6）=-$\frac{3}{2}$x2+6x=-$\frac{3}{2}$（x2-4x+4-4）=-$\frac{3}{2}$（x-2）2+6，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴S有最大值，
∵0≤x≤4，
∴当x=2时，S有最大值为6．

点评 本题是矩形和二次函数的综合题，难度不大，主要考查了矩形、二次函数的性质，知道矩形的对边相等，且四个角为直角，其面积为长×宽，本题还是动点运动问题，此类问题要先弄清该动点的运动路线、时间、速度，会表示其路程；并与二次函数相结合，利用面积公式将矩形面积问题转化为二次函数的最值问题，使问题迎刃而解．

练习册系列答案
相关题目
10．若a：b：c=3：2：5，则$\frac{a+2b-c}{a-b+c}$=$\frac{1}{3}$．
11．下列各组中是同类项的是（　　）
A．3x2y与2xy2B．$\frac{1}{3}$x4y与$\frac{1}{2}$yx4
C．-2a与0D．$\frac{1}{2}$πa2bc3与-3a2cb3
1．在平面上画互相垂直的两组平行线，相邻平行线的距离都等于1，这两组平行线的交点称为“格点”，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”，如图1．关于格点三角形的面积S，有一个著名的Pick定理：$S=I+\frac{1}{2}B-1$，其中I，B分别表示三角形内部与周界上的格点数．
（1）阅读
我们把互相垂直的其中两对平行线围成的矩形称为“格点矩形”，如图2，可验证Pick定理对格点矩形成立．设矩形ABCD的边AB，AD上分别有m，n个格点（不包括端点），并记矩形内部和周界上的格点数分别为I0，B0，则I0=mn，B0=2（m+n）+4，AB=m+1，AD=n+1.$\begin{array}{l}{I_0}+\frac{1}{2}{B_0}-1=mn+\frac{1}{2}[{2（{m+n}）+4}]-1=mn+m+n+1=（{m+1}）（{n+1}）\\={S_{ABCD}}.\end{array}$

完成下列两题的证明
（2）任何一个格点三角形都可以内接在一个格点矩形中，使三角形至少有一个顶点恰好是矩形的顶点．
图3是最简单的情形．设边AC上的格点数为k（不包括端点），请用I0，B0和k分别表示△ABC内部和周界上的格点数，并利用（1）的结论证明：对于△ABC，Pick定理成立．
（3）请利用（2）的结论证明：对于图4所示的△ABC，Pick定理也成立．
8．已知直线y1=x+1与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C在线段OB上，且不与点O，B重合，二次函数y2=ax2+bx+c的图象经过点A，C，其中a＞c．
（1）试判断二次函数y2=ax2+bx+c的图象的顶点在第几象限，说明理由；
（2）设二次函数y2=ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点为D，且OD=$\frac{1}{2}$OC．求a的值；
（3）将（2）中的抛物线y2=ax2+bx+c作适当的平移，得到抛物线y3=a（x-h）2，若当1＜x≤n时，y3≤y1一定成立，求n的最大值．
18．已知a2+ab=-2，2ab-b2=4，求2a2-b2的值．
5．某公司员工分别住在A、B、C、D四个住宅区，A区有20人，B区有15人，C区有5人，D区有30人，四个区在同一条直线上，位置如图所示．该公司的接送车打算在此间设立一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设置在（　　）
A．D区B．A区C．AB两区之间D．BC两区之间
2．在（-4）-（　　）=-9中的括号里应填（　　）
A．-5B．5C．13D．-13
3．下列等式中，不一定成立的是（　　）
A．$\sqrt{2\frac{2}{3}}$=2$\sqrt{\frac{2}{3}}$B．$\frac{1}{a+b}=\frac{c}{（a+b）c}$C．a$\sqrt{-\frac{1}{a}}$=-$\sqrt{-a}$D．$\frac{-c}{-a+b}=\frac{c}{a-b}$

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