Question

8．已知直线y₁=x+1与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C在线段OB上，且不与点O，B重合，二次函数y₂=ax²+bx+c的图象经过点A，C，其中a＞c．
（1）试判断二次函数y₂=ax²+bx+c的图象的顶点在第几象限，说明理由；
（2）设二次函数y₂=ax²+bx+c的图象与x轴的另一个交点为D，且OD=$\frac{1}{2}$OC．求a的值；
（3）将（2）中的抛物线y₂=ax²+bx+c作适当的平移，得到抛物线y₃=a（x-h）²，若当1＜x≤n时，y₃≤y₁一定成立，求n的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据题意求得点A、B的坐标，继而可得y₂=ax²+bx+c的图象与y轴交点C的纵坐标c的范围，结合a＞c知抛物线的开口向上，根据二次函数y₂=ax²+bx+c的图象经过点A，C可判断顶点所在的象限；
（2）将点A（-1，0）代入y₂=ax²+bx+c得a-b+c=0 ①，再根据OD=$\frac{1}{2}$OC、OC=c并结合（1）中抛物线在坐标系中的位置可得点D的坐标为（-$\frac{1}{2}$c，0），将其代入y₂可得$\frac{1}{4}$ac²-$\frac{1}{2}$bc+c=0，即ac-2b+4=0 ②，联合①②即可得a的值；
（3）设y₃与y₁=x+1的两交点的横坐标分别为x₀，x₀′，因为抛物线y₃=2（x-h）²可以看成由y=2x²左右平移得到，观察图象可知，随着图象向右移，x₀，x₀′的值不断增大，所以当1＜x≤n，y₃≤y₁恒成立时，n最大值在x₀′处取得，根据题意列出方程求出x₀′，即可求解．

解答 解：（1）第三象限，
在直线y₁=x+1中，当x=0时，y=1，当y=0时，x+1=0，解得：x=-1，
∴点A坐标为（-1，0），点B的坐标为（0，1），
∵点C在线段OB上，且不与点O，B重合，
∴0＜c＜1，
∵a＞c，
∴a＞0，
由二次函数y₂=ax²+bx+c的图象经过点A，C可知抛物线的顶点在第三象限；

（2）将点A（-1，0）代入y₂=ax²+bx+c，得：a-b+c=0 ①，
∵OD=$\frac{1}{2}$OC，OC=c，
∴OD=$\frac{1}{2}$c，
由（1）知，点D的坐标为（-$\frac{1}{2}$c，0），
将点D坐标代入y₂=ax²+bx+c，得：$\frac{1}{4}$ac²-$\frac{1}{2}$bc+c=0，即ac-2b+4=0 ②，
①×2-②，得：（2-c）a-2（2-c）=0，
∵0＜c＜1，
∴a=2；

（3）设y₃与y=x+1的两交点的横坐标分别为x₀，x₀′，
∵y₃=2（x-h）²可以看成由y=2x²左右平移得到，观察图象可知，随着图象向右移，x₀，x₀′的值不断增大，
∴当1＜x≤n时，y₃≤y₁一定成立，n最大值在x₀′处取得，
∴当x₀=1时，对应的x₀′即为n的最大值
将x₀=1代入y₃=2（x-h）²=x+1得（1-h）²=2，
∴h=2或h=0（舍）
将h=2代入y₃=2（x-h）²=x+1得：2x²-9x+7=0，
∴x₀=1，x₀′=$\frac{7}{2}$．
∴n的最大值为$\frac{7}{2}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用、解一元二次方程等知识点，利用二次函数的图象和性质判断出n在何时取得最大值是解题的关键．