Question

8．如图，?ABCD的顶点A、C、D都在⊙O上，AB与⊙O相切于点A，BC与⊙O交于点E，设∠OCD=α，∠BAD=β．
（1）求证：AB=AE；
（2）试探究α与β之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）先证明∠CED=∠ADE，推出$\widehat{AE}$=$\widehat{CD}$，推出AE=CD，由此即可证明．
（2）延长AO交CD于F，由β=90°+∠OAD，∠OAD=$\frac{1}{2}$∠FOD，∠FOD=∠FOC=90°-α，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：连接DE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，AB=CD，
∴∠CED=∠ADE，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{CD}$，
∴AE=CD，
∴AB=AE．
（2）延长AO交CD于F，
∵AB是⊙O切线，
∴AB⊥AF，
∵AB∥CD，
∴AF⊥CD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠COF=∠DOF=90°-α，
∵∠OAD=∠ODA，
∴$∠OAD=\frac{1}{2}$（（90°-α），
∴β=90°+$\frac{1}{2}$（90°-α）=135°-$\frac{1}{2}$α．

点评 本题考查切线的性质、平行四边形的性质、圆的有关知识、垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．