Question

已知四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点P，若在矩形的上方加一个△DEA，且使DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形DEAP是菱形；
（2）若AE=CD，求∠DPC的度数．

Answer 1

考点：菱形的判定与性质,矩形的性质

专题：

分析：（1）由条件可证得四边形DEAP为平行四边形，结合矩形的对角线相等且平分可得PA=PD，可证得结论；
（2）由（1）的结论结合条件可证得△PDC为等边三角形，可求得∠DPC的度数．

解答：（1）证明：
∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形DEAP为平行四边形，
∵ABCD为矩形，
∴AP=

1

2

AC，DP=

1

2

BD，AC=BD，
∴AP=PD，PD=CP，
∴四边形DEAP为菱形；
（2）解：
∵四边形DEAP为菱形，
∴AE=PD，
∵AE=CD，
∴PD=CD，∵PD=CP，
∴△PDC为等边三角形，
∴∠DPC=60°．

点评：本题主要考查菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键，即①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，③四条边都相等的四边形是菱形．