Question

7．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2分别交x轴、y轴于点A、B，设C为AB的中点，D是线段OA上的动点（OD＜1），连结CD，将CD绕点D顺时针旋转90°至DE，交y轴于点F，过点E作x轴的平行线交AB于点G，连结FG，BE，则四边形BEFG面积的最小值为$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 先过C作CH⊥AO于H，过E作EM⊥AO于M，则∠CHD=∠DME=90°，根据旋转的性质，即可判定△CDH≌△DEM，进而得出CH=DM，DH=EM，再设OD=a，则DH=OH-a，进而得出OM=EM，即可得到平行四边形AOEG，进而得到GE=AO=2，根据S_{四边形BEFG}=S_△BFG+S_△BFE=$\frac{1}{2}$BF×GE=$\frac{1}{2}$×BF×2=BF，BF=BO-FO=2-（a-a²）=a²-a+2，即可得出S_{四边形BEFG}=（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，据此可得四边形BEFG面积的最小值．

解答 解：如图，过C作CH⊥AO于H，过E作EM⊥AO于M，则∠CHD=∠DME=90°，
由旋转可得，∠CDE=90°，CD=ED，
∴∠HCD=∠MDE，
∴△CDH≌△DEM，
∴CH=DM，DH=EM，
设OD=a，则DH=OH-a，
∵C为AB的中点，CH∥BO，
∴OH=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴DH=1-a=EM，
∵DM=CH=$\frac{1}{2}$BO=1，
∴OM=DM-DO=1-a，
∴OM=EM，
∵直线y=x+2分别交x轴、y轴于点A（-2，0）、B（0，2），
∴∠BAO=45°，
连接OE，则∠EOM=45°=∠GAO，
∴AG∥OE，
又∵EG∥OA，
∴四边形AOEG是平行四边形，
∴GE=AO=2，
∴S_{四边形BEFG}=S_△BFG+S_△BFE=$\frac{1}{2}$BF×GE=$\frac{1}{2}$×BF×2=BF，
∵FO∥EM，
∴$\frac{OF}{ME}$=$\frac{DO}{DM}$，即$\frac{OF}{1-a}$=$\frac{a}{1}$，
∴OF=a-a²，
∴BF=BO-FO=2-（a-a²）=a²-a+2，
∴S_{四边形BEFG}=a²-a+2=（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
∵0＜a＜1，
∴当a=$\frac{1}{2}$时，四边形BEFG的面积最小值为$\frac{7}{4}$．
故答案为：$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，作辅助线构造全等三角形是解此题的关键．解题时注意运用割补法表示四边形BEFG的面积．