题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，
的边
在
轴上，
，以
为顶点的抛物线
经过点
，交y轴于点
，动点
在对称轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点从点出发，沿
方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点
停止，设运动时间为
秒，过点作
交
于点
，过点平行于
轴的直线
交抛物线于点
，连接
，当为何值时，
的面积最大？最大值是多少？
（3）若点
是平面内的任意一点，在轴上方是否存在点，使得以点
为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）当
时，其最大值为10；（3）①
；②点
或或
【解析】
（1）将点
的坐标代入二次函数表达式即可求出b,c，即可求出解析式，再求出A点坐标；
（2）先求出直线AC的表达式，设点
，则点
，得点
，利用
求出t的关系式，再根据二次函数性质进行求解；
（3）设点
，点
，根据①当
是菱形一条边时，②当是菱形一对角线时，分别利用菱形的性质进行列式求解.
解：（1）将点的坐标代入二次函数表达式得：
，解得：
，
故抛物线的表达式为：，
则点
；
（2）将点
的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线
的表达式为：
，
点，则点，设点，
，
∵
，故
有最大值，当时，其最大值为10；
（3）设点，点，
①当是菱形一条边时，
当点
在
轴下方时，
点
向右平移3个单位、向下平移3个单位得到
，
则点
平移3个单位、向下平移3个单位得到，
则
，
，
而
得：
，
解得：
，
故点；
当点在轴上方时，
同理可得：点；
②当是菱形一对角线时，
则中点即为
中点，
则
，
，
而
，即
，
解得：
，
故
，
，
故点；
综上，点或或．
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