Question

【题目】如图1，在△ABC中，BA=BC，点D，E分别在边BC、AC上，连接DE，且DE=DC．

（1）问题发现：若∠ACB=∠ECD=45°，则 ．

（2）拓展探究，若∠ACB=∠ECD=30°，将△EDC绕点C按逆时针方向旋转α度（0°＜α＜180°），图2是旋转过程中的某一位置，在此过程中的大小有无变化？如果不变，请求出的值，如果变化，请说明理由．

（3）问题解决：若∠ACB=∠ECD=β（0°＜β＜90°），将△EDC旋转到如图3所示的位置时，则的值为 ．（用含β的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）；（2）此过程中的大小有变化，（3）2cosβ

【解析】

1）如图1，过E作EF⊥AB于F，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C=∠DEC=45°，于是得到∠B=∠EDC=90°，推出四边形EFBD是矩形，得到EF=BD，推出△AEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到结论；

（2）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；

（3）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β，根据相似三角形的性质得到，即，根据角的和差得到∠ACE=∠BCD，求得△ACE∽△BCD，证得，过点B作BF⊥AC于点F，则AC=2CF，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解：（1）如图1，过E作EF⊥AB于F，

∵BA=BC，DE=DC，∠ACB=∠ECD=45°，

∴∠A=∠C=∠DEC=45°，

∴∠B=∠EDC=90°，

∴四边形EFBD是矩形，

∴EF=BD，

∴EF∥BC，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴，

故填：，

（2）此过程中的大小有变化，

由题意知，△ABC和△EDC都是等腰三角形，

∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，

∴△ABC∽△EDC，

∴，即，

又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB，

∴∠ACE=∠BCD，

∴△ACE∽△BCD，

∴，

在△ABC中，如图2，过点B作BF⊥AC于点F，则AC=2CF，

在Rt△BCF中，，

∴AC=BC．

∴；

（3）由题意知，△ABC和△EDC都是等腰三角形，且∠ACB=∠ECD=β，

∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β，

∴△ABC∽△EDC，

∴，即，

又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB，

∴∠ACE=∠BCD，

∴△ACE∽△BCD，

∴，

在△ABC中，如图3，过点B作BF⊥AC于点F，则AC=2CF，

在Rt△BCF中，CF=BCcosβ，

∴AC=2BCcosβ．

∴=2cosβ，

故答案为2cosβ．