Question

6．二次函数y=-（x-1）²+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 条件m≤x≤n和mn＜0可得m＜0，n＞0
所以y的最小值为2m为负数，最大值为2n为正数．
最大值为2n分两种情况，
（1）顶点纵坐标取到最大值，求出n=2.5，结合图象最小值只能由x=m时求出．
（2）顶点纵坐标取不到最大值，结合图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．

解答 解：二次函数y=-（x-1）²+5的大致图象如下：
．
①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即2m=-（m-1）²+5，
解得：m=-2．
当x=n时y取最大值，即2n=-（n-1）²+5，
解得：n=2或n=-2（均不合题意，舍去）；
②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即2m=-（m-1）²+5，
解得：m=-2．
当x=1时y取最大值，即2n=-（1-1）²+5，
解得：n=$\frac{5}{2}$，
或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值，
2m=-（n-1）²+5，n=$\frac{5}{2}$，
∴m=$\frac{11}{8}$，
∵m＜0，
∴此种情形不合题意，
所以m+n=-2+$\frac{5}{2}$=$\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键．