Question

15．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，4）．
（1）如图1，若点B 在x轴正半轴上，点C（1，-1），且AB=BC，AB⊥BC，求点B坐标．
（2）如图2，若点B在x轴负半轴上，AE⊥x轴于E，AF⊥y轴于F，∠BFM=45°，MF交直线AE于M．求证：OB+BM=AM．

Answer 1

分析 （1）如图1，过A作AD⊥x轴，CE⊥x轴，垂足分别为D、E．根据余角的性质得到∠DAB=∠EBC，根据全等三角形的性质得到BD=CE，根据线段的和差即可得到结论；
（2）如图2，在AM上截取AN=OB，连接FN，由已知得到OF=AF=4，根据全等三角形的性质得到∠BFO=∠NFA，BF=NF，推出△BFM≌△NFM（SAS），得到BM=NM，由线段的和差即可得到结论．

解答 （1）解：如图1，过A作AD⊥x轴，CE⊥x轴，垂足分别为D、E．
∵AD⊥x轴，CE⊥x轴，
∴∠ADB=∠BEC=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠EBC+∠ABD=90°，
∴∠DAB=∠EBC，
在△ADB与△BEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠BEC}\\{∠DAB=∠EBC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△BEC（AAS），
∴BD=CE，
∵A（4，4），C（1，-1），
∴OD=4，CE=1，
∴OB=OD+BD=OD+CE=4+1=5，
∴B（5，0）；

（2）解：如图2，在AM上截取AN=OB，连接FN，
∵A（4，4），
∴OF=AF=4，
在△BOF与△NAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AN=OB}\\{∠A=∠BOF}\\{OF=AF}\end{array}\right.$，
∴△BOF≌△NAF（SAS），
∴∠BFO=∠NFA，BF=NF，
∵∠BFM=∠BFO+∠OFM=45°，
∴∠NFA+∠OFM=45°，
∴∠OFA=90°，
∴∠NFM=∠OFA-（∠NFA+∠OFM）
=90⁰-45⁰=45°，
∴∠BFM=∠NFM，
在△BFM与△NFM中，$\left\{\begin{array}{l}{BF=AN}\\{∠BFM=∠NFM}\\{FM=FM}\end{array}\right.$，
∴△BFM≌△NFM（SAS），
∴BM=NM，
∴AM=AN+NM=OB+BM．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．