Question

12．已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）过（-2，0），（2，4）两点，按下列要求分别写出抛物线的一个解析式．
（1）对称轴在y轴左侧且在直线x=-2的右侧；
（2）对称轴在直线x=-2的左侧．

Answer 1

分析 根据点的坐标利用待定系数法可求出抛物线的解析式是y=ax²+x+（2-4a），根据二次函数解析式找出其对称轴．
（1）由对称轴在y轴左侧且在直线x=-2的右侧，可得出-2＜-$\frac{1}{2a}$＜0，解之即可得出a的取值范围，取其内的任意一数，代入二次函数解析式中即可得出结论；
（2）由对称轴在直线x=-2的左侧，可得出-$\frac{1}{2a}$＜-2，解之即可得出a的取值范围，取其内的任意一数，代入二次函数解析式中即可得出结论．

解答 解：将（-2，0）、（2，4）代入y=ax²+bx+c中，
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{4a+2b+c=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=2-4a}\end{array}\right.$，
∴过（-2，0）、（2，4）两点抛物线的解析式是y=ax²+x+（2-4a），
∴该抛物线的对称轴为x=-$\frac{1}{2a}$．
（1）根据题意得：-2＜-$\frac{1}{2a}$＜0，
解得：a＞$\frac{1}{4}$，
当a=1时，抛物线的解析式为y=x²+x-4．
（2）根据题意得：-$\frac{1}{2a}$＜-2，
解得：0＜a＜$\frac{1}{4}$，
当a=$\frac{1}{5}$时，抛物线的解析式为y=$\frac{1}{5}$x²+x+$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）根据对称轴所在的范围找出-2＜-$\frac{1}{2a}$＜0；（2）根据对称轴所在的范围找出-$\frac{1}{2a}$＜-2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键．