Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E在AC上，点E、D、F一条直线上，且ED=FD，
（1）求证：AE=FB；
（2）若EF⊥CD，且AC=4，CB=2，求CE的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）由D为AB的中点，得到AD=BD，再由对顶角相等，利用SAS即可得证；
（2）连接CF，由题意得到CD垂直平分EF，得到CE=CF，设CE=CF=x，则有BAE=AC-EC=4-x，在直角三角形CFB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为CE的长．

解答：（1）证明：∵D为AB的中点，
∴AD=BD，
在△AED和△BFD中，

AD=BD ∠ADE=∠BDF ED=FD

，
∴△AED≌△BFD（SAS），
∴AE=FB；
（2）解：连接CF，
∵D为EF中点，CD⊥EF，
∴CE=CF，
在Rt△CBF中，设CF=CE=x，FB=AE=AC-EC=4-x，
利用勾股定理得：CF²=CB²+FB²，即x²=4+（4-x）²，
解得：x=2.5，
则CE=2.5．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．