Question

15．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A，C，D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）根据A与B坐标设出抛物线解析式，将C坐标代入即可求出；
（2）过点D作DH⊥AB于点H，交直线AC于点G，连接DC，AD，如图所示，利用待定系数法求出直线AC解析式，设D横坐标为m，则有G横坐标也为m，表示出DH与GH，由DH-GH表示出DG，三角形ADC面积=三角形ADG面积+三角形DGC面积，表示出面积与m的关系式，利用二次函数性质确定出面积的最大值，以及此时m的值，即此时D的坐标即可．

解答 解：（1）根据题意设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-2），
把C（0，2）代入得：-8a=2，即a=-$\frac{1}{4}$，
则抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x+4）（x-2）=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+2；
（2）过点D作DH⊥AB于点H，交直线AC于点G，连接DC，AD，如图所示，
设直线AC解析式为y=kx+t，则有$\left\{\begin{array}{l}{-4k+t=0}\\{t=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{t=2}\end{array}\right.$，
∴直线AC解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2，
设点D的横坐标为m，则G横坐标也为m，
∴DH=-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{1}{2}$m+2，GH=$\frac{1}{2}$m+2，
∴DG=-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{1}{2}$m+2-$\frac{1}{2}$m-2=-$\frac{1}{4}$m²-m，
∴S_△ADC=S_△ADG+S_△CDG=$\frac{1}{2}$DG•AH+$\frac{1}{2}$DG•OH=$\frac{1}{2}$DG•AO=2DG=-$\frac{1}{2}$m²-2m=-$\frac{1}{2}$（m²+4m）=-$\frac{1}{2}$[（m+2）²-4]=-$\frac{1}{2}$（m+2）²+2，
当m=-2时，S_△ADC取得最大值2，此时y_D=-$\frac{1}{4}$×（-2）²-$\frac{1}{2}$×（-2）+2=2，即D（-2，2）．

点评 此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．