Question

已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．

（1）如图1，若点O在BC上，求证：∠ABC=∠ACB；
（2）如图2，若点O在△ABC内部，∠OBC=∠OCB，求证：∠ABC=∠ACB；
（3）猜想，若O点在△ABC的外部，∠ABC=∠ACB成立吗？请画图表示．

Answer 1

考点：角平分线的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据HL证Rt△OEB≌Rt△OFC，根据全等三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，即可得出答案；
（2）根据HL证Rt△OEB≌Rt△OFC，根据全等三角形的性质得出∠EBO=∠FCO，即可得出答案；
（3）画出符合条件的两种情况：图③和图④，根据HL证Rt△OEB≌Rt△OFC，根据全等三角形的性质得出∠EBO=∠FCO，即可得出答案．

解答：（1）证明：如图1，

过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
则∠OEB=∠OFC=90°，
∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，
∴OE=OF，
在Rt△OEB和Rt△OFC中，

OB=OC OE=OF

，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠ABC=∠ACB；

（2）
证明：如图2，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
则∠OEB=∠OFC=90°，
∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，
∴OE=OF，
在Rt△OEB和Rt△OFC中

OB=OC OE=OF

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠ABO=∠ACO，
∵∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB；

（3）解：若O点在△ABC的外部，∠ABC=∠ACB不一定成立，
理由是：①当∠A的平分线和BC的垂直平分线重合时，如图3，

过O作OE⊥AB交AB的延长线于E，OF⊥AC交AC的延长线于F，
则∠OEB=∠OFC=90°，
∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，
∴OE=OF，
在Rt△OEB和Rt△OFC中

OB=OC OE=OF

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠EBO=∠FCO，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠ABC=180°-（∠OBC+∠EBO），∠ACB=180°-（∠OCB+∠FCO），
∴∠ABC=∠ACB；
②当∠A的平分线和BC的垂直平分线不重合时，如图④，
此时∠ABC和∠ACB不相等．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定应用，解此题的关键是求出Rt△OEB≌Rt△OFC，题目比较好，证明过程类似．