Question

12．如图，已知直线l的解析式是y=$\sqrt{3}$x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A₁；过点A₁作y轴的垂线交直线l于点B₁，过点B₁作直线l的垂线交y轴于点A₂，按此作法继续下去，则点A₂₀₁₇的纵坐标为$（\frac{4}{3}）^{2017}$．

Answer 1

分析 由点A的坐标结合直线l的解析式可求出OB的长度，进而可得出OA₁的长度，同理可求出OA₂=$\frac{16}{9}$，OA₃=$\frac{64}{27}$，…，根据线段长度的变化可找出变化规律“OA_n=$（\frac{4}{3}）^{n}$”，一次规律即可得出点A₂₀₁₇的纵坐标．

解答 解：∵直线l的解析式是y=$\sqrt{3}$x，
∴∠A_nOB_n=30°．
∵点A的坐标为（0，1），BA⊥y轴，
∴OB=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∵A₁B⊥直线l，
∴OA₁=$\frac{OB}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4}{3}$．
同理：可得出OA₂=$\frac{4}{3}$OA₁=$\frac{16}{9}$，OA₃=$\frac{4}{3}$OA₂=$\frac{64}{27}$，…，
∴OA_n=$（\frac{4}{3}）^{n}$．
∴点A₂₀₁₇的纵坐标为$（\frac{4}{3}）^{2017}$．
故答案为：$（\frac{4}{3}）^{2017}$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及规律型中点的坐标，根据线段长度的变化找出变化规律“OA_n=$（\frac{4}{3}）^{n}$”是解题的关键．