Question

4．如图，在边长为3的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B，C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，连接MA，则AM长度的最小值是$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 先设PB=x，则CP=3-x，判定△CMP∽△BPA，得出$\frac{PB}{CM}$=$\frac{AB}{PC}$，进而得到CM=$\frac{PB×PC}{AB}$=$\frac{1}{3}$x（3-x），作MG⊥AB于G，根据AM=$\sqrt{M{G}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+A{G}^{2}}$，可知AG最小时，AM最小，最后求得AG的最小值，即可得出AM长度的最小值．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB=DC=AD=3，∠C=∠B=90°，
设PB=x，则CP=3-x，
∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，
∵∠CPN+∠NPB=180°，
∴2∠NPM+2∠APE=180°，
∴∠MPN+∠APE=90°，即∠APM=90°，
∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，
∴∠CPM=∠PAB，
∴△CMP∽△BPA，
∴$\frac{PB}{CM}$=$\frac{AB}{PC}$，
∴CM=$\frac{PB×PC}{AB}$=$\frac{1}{3}$x（3-x），
如图，作MG⊥AB于G，
∵AM=$\sqrt{M{G}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+A{G}^{2}}$，
∴AG最小时，AM最小，
∵AG=AB-BG=AB-CM=3-$\frac{1}{3}$x（3-x）=$\frac{1}{3}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴x=$\frac{3}{2}$时，AG最小值=$\frac{9}{4}$，
∴AM的最小值=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{9}{4}）^{2}}$=$\frac{15}{4}$，
故答案为：$\frac{15}{4}$．

点评 本题属于折叠问题，主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识的综合应用，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，添加常用辅助线构造直角三角形，利用勾股定理进行计算．