Question

1．一次函数y=-x+1（0≤x≤10）与反比例函数y=$\frac{1}{x}$（-10≤x＜0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，点（x₁，y₁），（x₂，y₂）是图象上两个不同的点，若y₁=y₂，则x₁+x₂的取值范围是（　　）

• A． -$\frac{89}{10}$≤x≤1
• B． -$\frac{89}{10}$≤x≤$\frac{89}{9}$
• C． -$\frac{89}{9}$≤x≤$\frac{89}{10}$
• D． 1≤x≤$\frac{89}{10}$

Answer 1

分析 由x的取值范围结合y₁=y₂可求出y的取值范围，根据y关于x的关系式可得出x关于y的关系式，利用做差法求出x=1-y+$\frac{1}{y}$再-9≤y≤-$\frac{1}{10}$中的单调性，依此单调性即可求出x₁+x₂的取值范围．

解答 解：当x=-10时，y=$\frac{1}{x}$=-$\frac{1}{10}$；
当x=10时，y=-x+1=-9，
∴-9≤y₁=y₂≤-$\frac{1}{10}$．
设x₁＜x₂，则y₂=-x₂+1、y₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$，
∴x₂=1-y₂，x₁=$\frac{1}{{y}_{1}}$，
∴x₁+x₂=1-y₂+$\frac{1}{{y}_{1}}$．
设x=1-y+$\frac{1}{y}$（-9≤y≤-$\frac{1}{10}$），-9≤y_m＜y_n≤-$\frac{1}{10}$，
则x_n-x_m=y_m-y_n+$\frac{1}{{y}_{n}}$-$\frac{1}{{y}_{m}}$=（y_m-y_n）（1+$\frac{1}{{y}_{m}{y}_{n}}$）＜0，
∴x=1-y+$\frac{1}{y}$中x值随y值的增大而减小，
∴1-（-$\frac{1}{10}$）-10=-$\frac{89}{10}$≤x≤1-（-9）-$\frac{1}{9}$=$\frac{89}{9}$．
故选B．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象上点的坐标特征，找出x=1-y+$\frac{1}{y}$在-9≤y≤-$\frac{1}{10}$中的单调性是解题的关键．