Question

如图，△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，且交于H，G为BH的中点，F为AC中点，且∠ABC=45°，求证：DG=DF，DG⊥DF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：易证BD=AD和∠DBH=∠CAD，即可证明∴△CAD≌△HBD，可得BH=AC，CD=DH，∠BHD=∠ACD，即可求得DG=DF，即可证明△CDF≌△HDG，可得∠GDH=∠CDF，根据∠CDF+∠ADF=90°即可解题．

解答：证明：∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴BD=AD，
∵∠DBH+∠BHD=90°，∠AHE+∠CAD=90°，∠AHE=∠BHD，
∴∠DBH=∠CAD，
在△CAD和△HBD中，

∠DBH=∠CAD BD=AD ∠BDH=∠ADC=90°

，
∴△CAD≌△HBD（ASA），
∴BH=AC，CD=DH，∠BHD=∠ACD，
∵G为BH的中点，F为AC中点，
∴DG=

1

2

BH，DF=

1

2

AC，HG=CF，
∴DG=DF，
在△CDF和△HDG中，

CD=DH ∠ACD=∠BHD CF=HG

，
∴△CDF≌△HDG（SAS），
∴∠GDH=∠CDF，
∵∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠GDH+∠ADF=90°，即∠GDF=90°，
∴DG⊥DF．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△CAD≌△HBD和△CDF≌△HDG是解题的关键．