Question

已知，如图：AD是△ABC的中线，AE⊥AB，AE=AB，AF⊥AC，AF=AC，连结EF．试猜想线段AD与EF的关系，并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：猜想：EF=2AD，EF⊥AD．
证明：延长AD到M，使得AD=DM，连接MC，延长DA交EF于N，易证BD=CD，即可证明△ABD≌△MCD，可得AB=MC，∠BAD=∠M，即可求得∠EAF=∠MCA，即可证明△AEF≌△CMA，可得EF=AM，∠CAM=∠F，即可解题．

解答：猜想：EF=2AD，EF⊥AD．
证明：延长AD到M，使得AD=DM，连接MC，延长DA交EF于N，

∴AD=DM，AM=2AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵在△ABD和△MCD中，

AD=DM ∠ADB=∠MDC BD=CD

，
∴△ABD≌△MCD，（SAS）
∴AB=MC，∠BAD=∠M，
∵AB=AE，
∴AE=MC，
∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠EAB=∠FAC=90°，
∵∠FAC+∠BAC+∠EAB+∠EAF=360°，
∴∠BAC+∠EAF=180°，
∵∠CAD+∠M+∠MCA=180°，
∴∠CAD+∠BAD+∠MCA=180°，
即∠BAC+∠MCA=180°，
∴∠EAF=∠MCA．
∵在△AEF和△CMA中，

AF=AC ∠EAF=∠MCA AE=CM

，
∴△AEF≌△CMA，（SAS）
∴EF=AM，∠CAM=∠F，
∴EF=2AD；
∵∠CAF=90°，
∴∠CAM+∠FAN=90°，
∵∠CAM=∠F，
∴∠F+∠FAN=90°，
∴∠ANF=90°，
∴EF⊥AD．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD≌△MCD和△AEF≌△CMA是解题的关键．