Question

7．如图1，已知AC是矩形纸片ABCD的对角线，AB=3，∠ACB=30°，现将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中A′B′C′，当四边形A′ECF是菱形时，平移距离AA′的长是（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 由∠A=30°，A′B=DC=3，可得AD=3$\sqrt{3}$，通过特殊角30°的函数值，把线段A′E、A′F用AA′的代数式表示出来，由A′E=A′F，可求出AA′的值．

解答 解：如图（2）设AA′=x，
∵∠A=30°，A′B=DC=3，
∴AD=3$\sqrt{3}$，
∴A′D=3$\sqrt{3}$-x，A′E=$\frac{x}{\sqrt{3}}$
∵四边形A′ECF是菱形
∴A′E∥FC，A′E=A′F，
∴∠DA′F=∠A=30°，
∴A′F=$\frac{A′D}{cos30°}$=$\frac{6\sqrt{3}-2x}{\sqrt{3}}$，
∴$\frac{x}{\sqrt{3}}$=$\frac{6\sqrt{3}-2x}{\sqrt{3}}$，
∴x=2$\sqrt{3}$
故选C．

点评 本题主要考查了三角函数、矩菱形的性质，正确辅助未知数，构建方程是解决问题的关键．