Question

12．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 首先根据全等三角形判定的方法，判断出△AFG≌△AFC，即可判断出FG=FC，AG=AC，所以点F是CG的中点；然后根据点E是BC的中点，可得EF是△CBG的中位线，再根据三角形中位线定理，求出线段EF的长为多少即可．

解答 解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠FAG=∠FAC，
∵CG⊥AD，
∴∠AFG=∠AFC=90°，
在△AFG和△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAG=∠FAC}\\{AF=AF}\\{∠AFG=∠AFC}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△AFC，
∴FG=FC，AG=AC=3，
∴F是CG的中点，
又∵点E是BC的中点，
∴EF是△CBG的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}BG$=$\frac{1}{2}（AB-AG）=\frac{1}{2}×（4-3）=\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 （1）此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）此题还考查了等腰三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．