Question

16．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O与边AB交于点D，E为的中点，连结CE交AB于点F，AF=AC．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）若AB=5，BC=4，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理得出∠BEC=90°，∠EBF=∠BCE，得出∠EBF+∠EFB=90°，再证出∠EFB=∠ACF，求出∠ACF+∠BCE=90°，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AC，再证明△EBF∽△ECB，得出比例式$\frac{BE}{CE}=\frac{BF}{CB}$，得出BE=$\frac{1}{2}$CE，在Rt△BCE中，由勾股定理即可求出CE的长．

解答 （1）证明：连接BE，如图所示：
∵BC为直径，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBF+∠EFB=90°，
∵E为弧BD的中点，
∴$\widehat{DE}=\widehat{BE}$，
∴∠EBF=∠BCE，
∵AC=AF，
∴∠ACF=∠AFC，
∵∠AFC=∠EFB，
∴∠EFB=∠ACF，
∴∠ACF+∠BCE=90°，
∴OC⊥AC，
∵AC经过⊙O外端点C，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，∵AB=5，BC=4，
∴$AC=\sqrt{A{B^2}-B{C^2}}=3$，
∴AF=AC=3，
∴BF=2，
∵∠EBF=∠ECB，∠BEF=∠BEC，
∴△EBF∽△ECB，
∴$\frac{BE}{CE}=\frac{BF}{CB}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴BE=$\frac{1}{2}$CE，
∵在Rt△BCE中，根据勾股定理得：BE²+CE²=BC²，
即（$\frac{1}{2}$CE）²+CE²=4²，
解得：CE=$\frac{8}{5}\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握圆周角定理，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．