Question

12．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，点P从点C出发，在线段CB上以每秒1cm的速度向点B匀速运动．与此同时，点M从点B出发，在线段BA上以每秒lcm的速度向点A匀速运动．过点P作PN⊥BC，交AC点N，连接MP，MN．当点P到达BC中点时，点P与M同时停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t为何值时，PM⊥AB．
（2）设△PMN的面积为y（cm²），求出y与x之间的函致关系式．
（3）是否存在某一时刻t，使S_△PMN：S_△ABC=1：5？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据△BMP∽△BDA得$\frac{BM}{BD}=\frac{PB}{AB}$即可列出方程解决．
（2）根据△BMP∽△BDA得$\frac{PN}{AD}=\frac{CP}{CD}$求出PN，MF，在证明四边形DPEF是矩形得到ME即可．
（3）代入（2）即可用方程解决．

解答 解：（1）过点A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，∠ADB=90°，
∴BD=CD=6，
∴$AD=\sqrt{A{B}^{2}-C{D}^{2}}$=8，
∵MP⊥AB，
∴∠BMP=∠ADB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BMP∽△BDA，
∴$\frac{BM}{BD}=\frac{PB}{AB}$，
∴$\frac{t}{6}=\frac{12-t}{10}$解得t=4.5，
∴当t为4.5时，PM⊥AB
（2）过点M作ME⊥NP于E，交AD于F．
∵BC⊥NP，
∴∠ADC=∠NPC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△CPN∽△CDA，
∴$\frac{PN}{AD}=\frac{CP}{CD}$，
∴$\frac{PN}{8}=\frac{t}{6}$，
∴PN=$\frac{4}{3}t$，
由△AMF∽△ABD，可得$\frac{MF}{BD}$=$\frac{AM}{AB}$，即$\frac{MF}{6}$=$\frac{10-t}{10}$，
∴MF=$\frac{3}{5}（10-t）$，
∵∠BPN=∠ADP=∠MEP=90°，
∴四边形DPEF是矩形，
∴EF=DP=6-t，
∴ME=MF+EF=$\frac{3}{5}$（10-t）+6-t=12-$\frac{8}{5}$t，
∴S_△MPN=$\frac{1}{2}$PN•ME=$\frac{1}{2}$$•\frac{4}{3}t$（12-$\frac{8}{5}$t）=-$\frac{16}{15}$t²+8t，（0＜t≤6），
（3）存在．
由题意：-$\frac{16}{15}$t²+8t=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{2}$×12×8，
解得到t=$\frac{3}{2}$或6．
所以t=$\frac{3}{2}$秒或6秒时，S_△PMN：S_△ABC=1：5．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质、三角形面积公式等知识，本题的解题方法就是用方程的思想解决问题，把实际问题转化为方程是常用的手段．