题目内容
如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时△PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时△PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
（1）∠CMQ=60°不变．
∵等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
又由条件得AP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．
（2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，得4-t=2t，t=
；
②当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=
；
∴当第
秒或第
秒时，△PBQ为直角三角形．
（3）∠CMQ=120°不变．
∵在等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
∴∠PBC=∠ACQ=120°，
又由条件得BP=CQ，
∴△PBC≌△QCA（SAS）
∴∠BPC=∠MQC
又∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC=180°-60°=120°
∵等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
又由条件得AP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．
（2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，得4-t=2t，t=
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②当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=
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∴当第
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（3）∠CMQ=120°不变．
∵在等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
∴∠PBC=∠ACQ=120°，
又由条件得BP=CQ，
∴△PBC≌△QCA（SAS）
∴∠BPC=∠MQC
又∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC=180°-60°=120°
练习册系列答案
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