题目内容
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，过点B作BD⊥AC于D，BE平分∠DBC，交AC于E，过点A作AF⊥BE于G，交BC于F，交BD于H．若∠BAC=30°，则| FC |
| HD |
考点：角平分线的性质,含30度角的直角三角形,勾股定理
专题：
分析：设BC=1，则AC=2BC=2，AB=
BC=
，在Rt△ABD中，BD=
AB=
，AD=
BD=
，求出AB=AE=
，过D作DM∥AB，交AF延长线于M，求出AD=DM=
，证△ABH∽△MDH，推出
=
，求出DH，同理可得：
=
，求出CF，即可求出答案．
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| AB |
| DM |
| BH |
| DH |
| AB |
| AC |
| BF |
| CF |
解答：解：∵BD⊥AC，
∴∠BDA=90°，
∵∠BAC=30°，
∴∠ABD=60°，
设BC=1，则AC=2BC=2，AB=
BC=
，
在Rt△ABD中，BD=
AB=
，AD=
BD=
，
∵∠BDC=90°，∠ACB=90°-30°=60°，
∴∠DBC=90°-60°=30°，BE平分∠DBC，
∴∠DBE=∠CBE=15°，
∴∠ABE=∠AEB=75°，
∴AB=AE=
，
∵AF⊥BE，
∴AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAF，
过D作DM∥AB，交AF延长线于M，
则∠M=∠BAF=∠CAF，
∴AD=DM=
，
∵DM∥AB，
∴△ABH∽△MDH，
∴
=
，
∴
=
，
∴DH=3-
，
同理可得：
=
，
∴
=
，
∴CF=4-2
，
∴
=
=
，
故答案为：
．
∴∠BDA=90°，
∵∠BAC=30°，
∴∠ABD=60°，
设BC=1，则AC=2BC=2，AB=
| 3 |
| 3 |
在Rt△ABD中，BD=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
∵∠BDC=90°，∠ACB=90°-30°=60°，
∴∠DBC=90°-60°=30°，BE平分∠DBC，
∴∠DBE=∠CBE=15°，
∴∠ABE=∠AEB=75°，
∴AB=AE=
| 3 |
∵AF⊥BE，
∴AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAF，
过D作DM∥AB，交AF延长线于M，
则∠M=∠BAF=∠CAF，
∴AD=DM=
| 3 |
| 2 |
∵DM∥AB，
∴△ABH∽△MDH，
∴
| AB |
| DM |
| BH |
| DH |
∴
| ||
|
| ||||
| DH |
∴DH=3-
3
| ||
| 2 |
同理可得：
| AB |
| AC |
| BF |
| CF |
∴
| ||
| 2 |
| 1-CF |
| CF |
∴CF=4-2
| 3 |
∴
| FC |
| HD |
4-2
| ||||
3-
|
| 4 |
| 3 |
故答案为：
| 4 |
| 3 |
点评：本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，有一定的难度．
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教学练新同步练习系列答案
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如图，∠ABC=30°，∠ADC=60°，BD=20m，则AC=
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