Question

5．a，b为有理数，且满足等式a+b$\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$•$\sqrt{1+\sqrt{4+2\sqrt{3}}}$，则a+b的值为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 利用完全平方公式将$\sqrt{1+\sqrt{4+2\sqrt{3}}}$逐步化简为$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{3}$+1），代入等式得出a+b$\sqrt{3}$=3+$\sqrt{3}$，从而得出答案．

解答 解：∵$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+2\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{（\sqrt{3}+1）^{2}}$=$\sqrt{3}$+1，
∴$\sqrt{1+\sqrt{4+2\sqrt{3}}}$=$\sqrt{1+\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{2+\sqrt{3}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}（4+2\sqrt{3}）}$=$\sqrt{\frac{1}{2}（\sqrt{3}+1）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{3}$+1），
则$\sqrt{6}$•$\sqrt{1+\sqrt{4+2\sqrt{3}}}$=$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{3}$+1）=$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}$+1）=3+$\sqrt{3}$，
∴a+b$\sqrt{3}$=3+$\sqrt{3}$，
则a=3，b=1，
∴a+b=4，
故选：B．

点评 本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．