如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.CA=8.CB=6.动点P从C出发沿CA方向.以每秒1个单位长度的速度向A点匀速运动.到达A点后立即以原来速度沿AC返回,同时动点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长度向点B匀速运动.当Q到达B时.P.Q两点同时停止运动．设P.Q运动的时间为t秒．(1)当t为何值时.PQ∥CB?(2)在点P从C向A运动的过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=8，CB=6，动点P从C出发沿CA方向，以每秒1个单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原来速度沿AC返回；同时动点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长度向点B匀速运动，当Q到达B时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）当t为何值时，PQ∥CB？
（2）在点P从C向A运动的过程中，在CB上是否存在点E使△CEP与△PQA全等？若存在，求出CE的长；若不存在，请说明理由；
（3）伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点F．当DF经过点C时，求出t的值．

分析（1）根据勾股定理求出AB，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可；
（2）根据全等三角形的性质得到∠PQA=90°，根据相似三角形的性质求出PE，根据勾股定理计算；
（3）分P由C向A运动和P由A向C运动两种情况，根据线段垂直平分线的性质、相似三角形的性质计算．

解答解：（1）如图1，CP=AQ=t，则AP=8-t，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB=10，
∵PQ∥CB，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AQ}{AB}$，即$\frac{8-t}{8}$=$\frac{t}{10}$，
解得，t=$\frac{40}{9}$，
∴当t=$\frac{40}{9}$时，PQ∥CB；
（2）存在，如图2，由题意可知CP=AQ=t，又∵∠PCE=90°，
要使△CEP与△PQA全等，只有∠PQA=90°这一种情况，
此时CE=PQ，PE=AP，
∵△PQA∽△BCA，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$，即$\frac{8-t}{10}$=$\frac{t}{8}$，
解得，t=$\frac{32}{9}$，
则PE=AP=8-t=$\frac{40}{9}$，
在Rt△PCE中，由勾股定理可得CE=$\frac{8}{3}$；
（3）①当P由C向A运动时，CQ=CP=AQ=t，
∴∠QCA=∠QAC，
∴∠QCB=∠QBC，
∴CQ=BQ=t，
∴BQ=AQ=$\frac{1}{2}$AB，
即AB=2t，
解得t=5；
②如图3，当P由A向C运动时，过Q作QG⊥CB交CB于点G，
CQ=CP=16-t，BQ=10-t，
则$\frac{BQ}{BA}$=$\frac{GQ}{CA}$，即$\frac{10-t}{10}$=$\frac{GQ}{8}$，
解得，GQ=$\frac{4}{5}$（10-t），
同理可求得BG=$\frac{3}{5}$（10-t），
∴GC=6-$\frac{3}{5}$（10-t），
在Rt△CGQ中，由勾股定理可得：CG²+GQ²=CQ²，
即[6-$\frac{3}{5}$（10-t）]²+[$\frac{4}{5}$（10-t）]²=（16-t）²，
解得t=10，
综上可知满足条件的t的值为5和10．

点评本题考查的是相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

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