Question

【题目】若双曲线y=kx-1与直线y=-2x+10在2≤x≤4时有且只有一个公共点，则对k的取值要求是______．

Answer 1

【答案】8≤k＜12或k=12.5．

【解析】

由直线y=-2x+10在2≤x≤4时，是第一象限内的一条线段，先通过解方程组，确定直线y=-2x+10与当双曲线y=kx-1有且只一个交点时，此交点是否在线段y=-2x+10（2≤x≤4）上，并求出其k值，再解决直线与双曲线有两个交点中只有其中一个交点在线段y=-2x+10（2≤x≤4）上时，k的取值情况便可．

解：若直线y=-2x+10与双曲线y=kx-1有且只有一个交点，则

方程组有且只有一个解，

也即，即2x2-10x+k=0有且只有一个实数根，

∴△=100-8k=0，

解得，k=12.5，

∴当k=12.5时，双曲线y=kx-1与直线y=-2x+10相切，只有一个公共点，

当k＞12.5时，双曲线y=kx-1与直线y=-2x+10相离，没有公共点，

当k＜12.5时，双曲线y=kx-1与直线y=-2x+10相交，有两个公共点，

∴当k=12.5时，方程2x2-10x+k=0为2x2-10x+12．5=0，

解得，x1=x2=，

∴交点坐标为（，5），

∵此交点（，5）在线段y=-2x+10（2≤x≤4）上，

∴当k=12.5时，双曲线y=kx-1与直线y=-2x+10在2≤x≤4时有且只有一个公共点；

∵当k＜12.5时，双曲线y=kx-1与直线y=-2x+10有两个交点，

∵当双曲线y=kx-1过点（4，2）时，k=8＜12.5，

由得，，，

此时直线y=-2x+10与y=有两个交点为（1，8），（4，2），

∵（1，8）不在线段y=-2x+4（2≤x≤4）上，

∴k=8时，双曲线y=kx-1与直线y=-2x+10在2≤x≤4时有且只有一个公共点；

当双曲线y=kx-1过点（2，6）时，k=2×6=12＜12.5．

由，得，，

此时直线y=-2x+10与y=有两个交点为（2，6），（3，4），

∵（2，6），（3，4）在线段y=-2x+4（2≤x≤4）上，

∴k=12时，双曲线y=kx-1与直线y=-2x+10在2≤x≤4时有两个公共点，

∴双曲线y=kx-1与直线y=-2x+10在2≤x≤4时有且只有一个公共点，必有k＜12，

综上可知，双曲线y=kx-1与直线y=-2x+10在2≤x≤4时有且只有一个公共点的k的取值要求是：8≤k＜12或k=12.5．

故答案为：8≤k＜12或k=12.5．