Question

11．在正方形ABCD中，动点E、F分别在射线CB、DC上移动，且满足DF=CE．
（1）如图1，若点E、F分别在边CB，DC上，则结论：①AF=DE；②AF⊥DE是否成立？成立（请直接回答“成立”或“不成立”）
（2）如图2，若点E、F分别在边CB，DC的延长线上，此时结论：①AF=DE；②AF⊥DE是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，若点E、F分别在边CB，DC的延长线上，对角线AC、BD相交于点O，
①探索点O到DE、AF的距离是否相等；
②若$AB=2\sqrt{5}$，DG=4，求△DGO的面积．

Answer 1

分析 （1）首先由正方形的性质得AD=DC，∠ADF=90°，利用全等三角形的SAS判定得△ADF≌△DCE，由全等三角形的性质得出结论；
（2）首先由正方形的性质得AD=DC，∠ADF=90°，利用全等三角形的HL判定得Rt△ADF≌Rt△DCE，由全等三角形的性质得出结论；
（3）①首先利用正方形的性质得AC=BD，BC=DC，由（2）得AF=DE，△ACF≌△DBE，利用S_△AOF=S_△DOE，得出结论；
②由（2）的结论，利用勾股定理可得AG，再利用△ADF的面积为$\frac{1}{2}$DG•AF或$\frac{1}{2}$DF•AD得：DG•AF=DF•AB，利用勾股定理，组成方程组解得FG，DF，利用三角形面积公式得出结论．

解答 解：（1）∵在△ADF与△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADC=∠DCE=90°}\\{DF=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴AF=DE，∠DAF=∠CDA，
∵∠DAF+∠AFD=90°，
∴∠CDA+∠AFD=90°，
∴∠DGF=90°，
∴AF⊥DE，
故答案为：成立；

（2）结论依然成立，理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠ADC=∠DCB=90°，即∠ADF=∠DCE，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADF=∠DCE}\\{DF=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，
∵∠ADG+∠CDE=90°，
∴∠ADG+∠DAG=90°，
∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；

（3）①连接OE、OF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC=BD，BC=DC，
∵DF=CE，
∴CF=BE，
由（2）知AF=DE，
在△ACF与△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=BE}\\{AC=DB}\\{AF=DB}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△DBE（SSS），
∴∠CAF=∠BDE，
∵OA=OD，
∴△AOF≌△DOE，
∴S_△AOF=S_△DOE，
设点O到DE、AF的距离分别为h₁、h₂，
则$\frac{1}{2}DE•{h_1}=\frac{1}{2}AF•{h_2}$，
∴h₁=h₂，即点O到DE、AF的距离相等；
②由（2）知，AF⊥DE，即∠AGD=90°，
∴$AG=\sqrt{A{D^2}-D{G^2}}=\sqrt{A{B^2}-D{G^2}}=\sqrt{{{（2\sqrt{5}）}^2}-{4^2}}=2$
由$\left\{\begin{array}{l}D{G^2}+F{G^2}=D{F^2}\\ DG•AF=AB•DF\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}16+F{G^2}=D{F^2}\\ 4（FG+2）=2\sqrt{5}DF\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}FG=8\\ DF=4\sqrt{5}\end{array}\right.$，
∴$BE=CF=DF-DC=4\sqrt{5}-2\sqrt{5}=2\sqrt{5}$，
DE=AF=AG+FG=2+8=10，
∴${S_{△DEB}}=\frac{1}{2}BE•DC=\frac{1}{2}×{（2\sqrt{5}）^2}=10$，
∴${S_{△DOE}}=\frac{1}{2}{S_{△DEB}}=\frac{1}{2}×10=5$，即$\frac{1}{2}DE•{h_1}=5$，
∴h₁=1，
∴${S_{△DGO}}=\frac{1}{2}DG•{h_1}=\frac{1}{2}×4×1=2$．

点评 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，三角形的面积公式，结合图形，综合利用各定理是解答此题的关键．