Question

6．如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在AD上，连接AC，BF交于点H，连接DH．若BC=4，DG=1，那么DH的长是$\frac{\sqrt{34}}{2}$．

Answer 1

分析 由四边形ABCD、EFGD是正方形，得到EF=DG=DE=1，AB=CD=BC=4，∠E=90°，延长FG交AC于P交BC于Q，得到四边形ECQF是矩形，根据矩形的性质得到FQ=CE=5，CQ=EF=1，证出△BCH≌△DCH，得到BH=DH，又通过△ABH≌△FPH，得到BH=FH，于是得到BH=FH=DH=$\frac{1}{2}$BF，在R_t△BFQ中，BF=$\sqrt{F{Q}^{2}+B{Q}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{34}$，问题可得．

解答 解：∵四边形ABCD、EFGD是正方形，
∴EF=DG=DE=1，AB=CD=BC=4，∠E=90°，
延长FG交AC于P交BC于Q，
∴四边形ECQF是矩形，
∴FQ=CE=5，CQ=EF=1，
在△BCH与△DCH中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCH=∠DCH=45°}\\{CH=CH}\end{array}\right.$，
∴△BCH≌△DCH，
∴BH=DH，
∵∠ACB=45°，
∴∠CPQ=45°，
∴PQ=CQ=1，
∴PF=4，∵AB∥QF，
∴∠ABH=∠BFP，
在△ABH与△FPH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABH=∠HFP}\\{∠AHB=∠PHF}\\{AB=FP=4}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△FPH，
∴BH=FH，
∴BH=FH=DH=$\frac{1}{2}$BF，
在R_t△BFQ中，BF=$\sqrt{F{Q}^{2}+B{Q}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
∴DH=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{\sqrt{34}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{34}}{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．