Question

18．如图，已知点A（-8，0），B（2，0），点C在直线y=-$\frac{3}{4}x+4$上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据∠A为直角，∠B为直角与∠C为直角三种情况进行分析．

解答 解：如图，

①当∠A为直角时，过点A作垂线与直线的交点W（-8，10），
②当∠B为直角时，过点B作垂线与直线的交点S（2，2.5），
③若∠C为直角
则点C在以线段AB为直径、AB中点E（-3，0）为圆心、5为半径的圆与直线y=-$\frac{3}{4}x+4$的交点上．
在直线y=-$\frac{3}{4}x+4$中，当x=0时y=4，即Q（0，4），
当y=0时x=$\frac{16}{3}$，即点P（$\frac{16}{3}$，0），
则PQ=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{16}{3}）^{2}}$=$\frac{20}{3}$，
过AB中点E（-3，0），作EF⊥直线l于点F，
则∠EFP=∠QOP=90°，
∵∠EPF=∠QPO，
∴△EFP∽△QOP，
∴$\frac{EF}{QO}$=$\frac{PE}{PQ}$，即$\frac{EF}{4}$=$\frac{3+\frac{16}{3}}{\frac{20}{3}}$，
解得：EF=5，
∴以线段AB为直径、E（-3，0）为圆心的圆与直线y=-$\frac{3}{4}x+4$恰好有一个交点．
所以直线y=-$\frac{3}{4}x+4$上有一点C满足∠C=90°．
综上所述，使△ABC是直角三角形的点C的个数为3，
故选：C．

点评 本题考查的是一次函数综合题，在解答此题时要分三种情况进行讨论，关键是根据圆周角定理判断∠C为直角的情况是否存在．