如图1.在平面直角坐标系xOy中.点A的坐标为.连接AB.做线段AB的垂直平分线l1.过点B作x轴的垂线l2.记l1.l2的交点为P．(1)当b=3时.在图1中补全图形(尺规作图.不写作法.保留作图痕迹),(2)小慧多次取不同数值b.得出相应的点P.并把这些点用平滑的曲线连接起来发现:这些点P竟然在一条曲线L上!①设点P的坐标为(x.y).试求y与x之间的关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，1），取一点B（b，0），连接AB，做线段AB的垂直平分线l₁，过点B作x轴的垂线l₂，记l₁，l₂的交点为P．
（1）当b=3时，在图1中补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）小慧多次取不同数值b，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来发现：这些点P竟然在一条曲线L上！
①设点P的坐标为（x，y），试求y与x之间的关系式，并指出曲线L是哪种曲线；
②设点P到x轴，y轴的距离分别是d₁，d₂，求d₁+d₂的范围，当d₁+d₂=8时，求点P的坐标；
③将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折，得到一条“W”形状的新曲线，若直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点，直接写出k的取值范围．

分析（1）利用尺规作出线段AB的垂直平分线，过点B作出x轴的垂线即可．
（2）①分x＞O或x＜0两种情形利用勾股定理求出x与y的关系即可解决问题．
②由题意得d₁+d₂=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$+|x|，列出方程即可解决问题．
③求出直线y=2与抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$的两个交点为（-$\sqrt{3}$，2）和（$\sqrt{3}$，2），利用这两个特殊点，求出k的值即可解决问题．

解答解；（1）线段AB的垂直平分线l₁，过点B作x轴的垂线l₂，直线l_1与l₂的交点为P，如图所示，

（2）①当x＞0时，如图2中，连接AP，作PE⊥y轴于E，

∵l₁垂直平分AB，
∴PA=PB=y，
在RT△APE中，∵EP=BO=x，AE=OE-OA=y-1，PA=y，
∴y²=x²+（y-1）²，
∴y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$，
当x＜0时，点P（x，y）同样满足y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$，
∴曲线l就是二次函数y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$即曲线l是抛物线．
②∵d₁=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$，d₂=|x|，
∴d₁+d₂=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$+|x|，
当x=0时，d₁+d₂有最小值$\frac{1}{2}$，
∴d₁+d₂≥$\frac{1}{2}$，
∵d₁+d₂=8，则$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$+|x|=8，
当x≥0时，原方程化为$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$+x-8=0，解得x=3或（-5舍弃），
当x＜0时，原方程化为$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$-x-8=0，解得x=-3或（5舍弃），
∵x=±3时，y=5，
∴点P坐标（3，5）或（-3，5）．
③如图3中，

把y=2代入y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$，解得x=$±\sqrt{3}$，
∴直线y=2与抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$的两个交点为（-$\sqrt{3}$，2）和（$\sqrt{3}$，2）．
当直线y=kx+3经过点（-$\sqrt{3}$，2）时，2=-$\sqrt{3}$k+3
∴k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
当直线y=kx+3经过点（$\sqrt{3}$，2）时，2=$\sqrt{3}$k+3，
∴k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线y=kx+3与这条“W”形状的曲线有四个交点时，k的取值范围是：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$．