Question

19．如图，动点M在以O为圆心，AB为直径的半圆弧上运动（点M不与点A、B及$\widehat{AB}$的中点F重合），连接OM．过点M作ME⊥AB于点E，以BE为边在半圆同侧作正方形BCDE，过点M作⊙O的切线交射线DC于点N，连接BM、BN．

（1）探究：如图一，当动点M在$\widehat{AF}$上运动时；
①判断△OEM∽△MDN是否成立？请说明理由；
②设$\frac{ME+NC}{MN}$=k，k是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
③设∠MBN=α，α是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
（2）拓展：如图二，当动点M在$\widehat{FB}$上运动时；
分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论．（均不必说明理由）

Answer 1

分析 （1）①由正方形的性质得出BE=BC，∠EBC=∠CDE=∠BCD=∠BED=90°，由切线的性质和直角三角形的性质证出∠EOM=∠DMN，即可得出△OEM∽△MDN；
②作BG⊥MN于G，则BG∥OM，∠BGN=∠BGM=90°，由平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠OBM=∠GBM，由AAS证明△BME≌△BMG，得出EM=GM，BE=BG，证出BG=BC，由HL证明Rt△BGN≌Rt△BCN，得出GN=CN，证出EM+NC=GM+NC=MN，即可得出结论；
③由全等三角形的性质得出∠EBM=∠GBM，∠GBN=∠CBN，求出∠MBN=$\frac{1}{2}$∠EBC=45°即可；
（2）（1）中的①③结论保持不变；②结论：EM-CN=MN．

解答 解：（1）①△OEM∽△MDN成立，理由如下：
∵四边形BCDE是正方形，
∴BE=BC，∠EBC=∠CDE=∠BCD=∠BED=90°，
∴∠EOM+∠EMO=90°，
∵MN是⊙O的切线，
∴MN⊥OM，
∴∠OMN=90°，
∴∠DMN+∠EMO=90°，
∴∠EOM=∠DMN，
∴△OEM∽△MDN；
②k值为定值1；理由如下：
作BG⊥MN于G，如图一所示：
则BG∥OM，∠BGN=∠BGM=90°，
∴∠OMB=∠GBM，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠OMB，
∴∠OBM=∠GBM，
在△BME和△BMG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OBM=∠GBM}&{\;}\\{∠BED=∠BGM=90°}&{\;}\\{BM=BM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BME≌△BMG（AAS），
∴EM=GM，BE=BG，
∴BG=BC，
在Rt△BGN和Rt△BCN中，$\left\{\begin{array}{l}{BN=BN}\\{BG=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BGN≌Rt△BCN（HL），
∴GN=CN，
∴EM+NC=GM+NC=MN，
∴k=$\frac{ME+NC}{MN}$=$\frac{MN}{MN}$=1；
③设∠MBN=α，α为定值45°；理由如下：
∵△BME≌△BMG，Rt△BGN≌Rt△BCN，
∴∠EBM=∠GBM，∠GBN=∠CBN，
∴∠MBN=$\frac{1}{2}$∠EBC=45°，
即α=45°；
（2）（1）中的①③结论保持不变；②结论：EM-CN=MN．
理由类似（1），作BG⊥MN于G，如图二所示．

点评 本题是圆的综合题目，考查了正方形的性质、切线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．