Question

1．如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0）和B（3，0）两点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点E，点D为顶点，连接BD、CD、BC．
（1）求二次函数解析式及顶点坐标；
（2）点P为线段BD上一点，若S_△BCP=$\frac{3}{2}$，求点P的坐标；
（3）点M为抛物线上一点，作MN⊥CD，交直线CD于点N，若∠CMN=∠BDE，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可得出结论，进而配成顶点式，得出顶点坐标；
（2）先利用勾股定理逆定理判断出△BCD是直角三角形，进而判断出点P是BD的中点，即可得出结论；
（3）先求出CD的解析式，再分点N在线段CD上和CD的延长线上，构造相似三角形即可得出结论．

解答 解：（1）把A（-1，0）和B（3，0）两点代入抛物线y=x²+bx+c中得：
$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D（1，-4），
（2）C（0，-3），由勾股定理得：BC²=3²+3²=18，
CD²=1²+（4-3）²=2，
BD²=（3-1）²+4²=20，
∴CD²+BC²=BD²，
即∠BCD=90°，
∴△BCD是直角三角形；
∴S_△BCD=3
由S_△BCP=$\frac{3}{2}$，
∴P为BD中点．
∴P（2，-2）
（3）∵∠CMN=∠BDE，
∴tan∠BDE=tan∠CMN=$\frac{BE}{DE}=\frac{3-1}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CN}{MN}$=$\frac{1}{2}$，
同理得：CD的解析式为：y=-x-3，
设N（a，-a-3），M（x，x²-2x-3），
①如图2，过N作GF∥y轴，过M作MG⊥GF于G，过C作CF⊥GF于F，
则△MGN∽△NFC，
∴$\frac{MG}{FN}=\frac{NG}{FC}=\frac{MN}{NC}$=2，
∴$\frac{x-a}{3-a-3}$=$\frac{{x}^{2}-2x-3+a+3}{-a}$=2，
则$\left\{\begin{array}{l}{x-a=-2a}\\{{x}^{2}-2x-3+a+3=-2a}\end{array}\right.$，
∴x₁=0（舍），x₂=5，
当x=5时，x²-2x-3=12，
∴M（5，12），

②如图3，过N作FG∥x轴，交y轴于F，过M作MG⊥GF于G，
∴△CFN∽△NGM，
∴$\frac{FC}{NG}=\frac{FN}{MG}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{a}{x-a}$=$\frac{3-a-3}{a+3+{x}^{2}-2x-2}$=$\frac{1}{2}$，则$\left\{\begin{array}{l}{x-a=2a}\\{a+3+{x}^{2}-2x-2=2a}\end{array}\right.$
∴x₁=0（舍），x₂=$\frac{7}{3}$，
当x=$\frac{7}{3}$时，y=x²-2x-3=-$\frac{20}{9}$，
∴M（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$），
综上所述，点M的坐标（5，12）或（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，勾股定理及逆定理，解方程组，解（2）的关键是判断出△BCD是直角三角形，解（3）的关键是分两种情况构造相似三角形，是一道中等难度的题目．