Question

如图所示，有一四边形的铁片ABCD，BC=CD，AD=

3

，∠A=60°，∠ADB=∠ABC=90°．以点C为圆心，CB为半径作圆弧得一扇形CDB．
（1）求阴影部分的面积；
（2）剪下该扇形并用它围成一圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径．

Answer 1

考点：圆锥的计算,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）先解Rt△ADB，得∠ABD=30°，BD=3，再判定△BCD是等边三角形，得出∠C=60°，BC=CD=BD=3，然后根据阴影部分的面积=扇形CDB的面积-△CDB的面积即可求解；
（2）先利用弧长公式求出弧BD的长，即圆锥底面圆的周长，从而求出圆的半径．

解答：解：（1）在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，AD=

3

，∠A=60°，
∴∠ABD=30°，AB=2AD=2

3

，BD=

3

AD=3．
∵∠ABC=90°，AB=2AD，
∵∠ABC=90°，
∴∠DBC=90°-30°=60°，
∵BC=CD，
∴△CBD是等边三角形，
∴∠C=60°，BC=CD=BD=3．
∴阴影部分的面积=扇形CDB的面积-△CDB的面积=

60×π×32

360

-

3

4

×3²=

3π

2

=

9 3

4

；

（2）由（1）知弧BD=

60×π×3

180

=π，
设该圆锥的底面半径为r，则
π=2πr，解得r=

1

2

，
故该圆锥的底面半径为

1

2

．

点评：本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质以及考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．