Question

10．已知，如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG，请探究：
（1）线段AE与CG是否相等，请说明理由；
（2）求证：△ABE∽△DEH；
（3）当点E在何处时，DH的长度最大，最大长度是多少？

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质和互余得到，判断全等三角形；
（2）由正方形的性质和互余得到三角形相似；
（3）由△ABE∽△DEH得到比例式，计算即可．

解答 （1）解：AE=CG，
理由如下：
∵四边形ABCD，BEFG都为正方形，
∴AB=BC，BE=BG，∠ABE=∠CBG，
在△ABE和△CBG中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠CBG}\\{BE=BG}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CBG，
∴AE=CG
（2）证明：∵四边形ABCD，EFGB都为正方形，
∴∠AEB+DEF=90°
∵∠DEF+DHE=90°，
∴∠AEB=DHE，
∵∠A=∠D
∴△ABE∽△DEH
（3）设DH=y，AE=x，则DE=1-x，
∵△ABE∽△DEH，
∴$\frac{DH}{AE}=\frac{DE}{AB}$，
∴$\frac{y}{x}=\frac{1-x}{1}$，
∴y=-x²+x=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
∴当x=$\frac{1}{2}$时，y_max=$\frac{1}{4}$，
∴当点E在AD的中点时，DH的最大值为$\frac{1}{4}$．

点评 此题是相似的综合题，主要考查正方形的性质和三角形全等和相似，解本题的关键是有全等和相似得到线段的关系．