Question

1．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，AE垂直x轴于E点，已知$OA=\sqrt{10}$，OE=3AE，点B的坐标为（m，-2）．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求一次函数的解析式．
（3）在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，请你求出P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）过A作AE垂直x轴，垂足为E，根据OE=3AE，以及OA的长，利用勾股定理求出AE与OE的长，确定出A的坐标，代入双曲线解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）把B坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出B坐标，再由A坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（3）过点C作CP⊥AB，垂足为点C，求出一次函数与坐标轴的交点确定出C与D坐标，求出DC的长，由△PDC与△ODC相似，得比例，求出PD的长，由PD-OD求出OP的长，即可确定出P坐标．

解答 解：（1）过A作AE垂直x轴，垂足为E，
∵OE=3AE，OA=$\sqrt{10}$，
∴在Rt△AOE中，根据勾股定理得：OE²+AE²=10，
∴AE=1，OE=3，
∴点A的坐标为（3，1）．
∵A点在双曲线上，
∴1=$\frac{k}{3}$，即k=3，
则双曲线的解析式为y=$\frac{3}{x}$；
（2）∵点B（m，-2）在双曲线y=$\frac{3}{x}$上，
∴-2=$\frac{3}{m}$，
∴m=-$\frac{3}{2}$，
∴点B的坐标为（-$\frac{3}{2}$，-2），
设一次函数解析式为y=ax+b，
把A与B坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=1}\\{-\frac{3}{2}a+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
则一次函数的解析式为y=$\frac{2}{3}$x-1；
（3）过点C作CP⊥AB，垂足为点C，
∵C，D两点在直线y=$\frac{2}{3}$x-1上，
∴C，D的坐标分别是：C（$\frac{3}{2}$，0），D（0，-1），即OC=$\frac{3}{2}$，OD=1，
∴DC=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∵△PDC∽△CDO，
∴$\frac{PD}{DC}$=$\frac{DC}{OD}$，
∴PD=$\frac{D{C}^{2}}{OD}$=$\frac{13}{4}$，
又OP=DP-OD=$\frac{13}{4}$-1=$\frac{9}{4}$，
∴P点坐标为（0，$\frac{9}{4}$）．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例、一次函数解析式，坐标与图形性质，相似三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．