Question

5．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC，E为垂足．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=5，BC=8，求DE+CE的长．

Answer 1

分析 （1）连结OD、AD，先利用圆周角定理得到∠ADB=90°，再利用等腰三角形的性质得BD=CD，于是可判断OD为△ABC的中位线，则OD∥AC，然后证明DE⊥OD，则根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）先由（1）得∠ADC=90°，CD=$\frac{1}{2}$BC=4，再在Rt△ADC中利用勾股定理计算出AD，再利用面积法计算出DE，接着利用勾股定理计算出CE，从而可得CE+DE的长．

解答 （1）证明：连结OD、AD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
而OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）得∠ADC=90°，CD=$\frac{1}{2}$BC=4，
而AC=AB=5，
在Rt△ADC中，AD=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∵$\frac{1}{2}$DE•AC=$\frac{1}{2}$•AD•CD，
∴DE=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
在Rt△CDE中，CE=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∴DE+CE=$\frac{12}{5}$+$\frac{16}{5}$=$\frac{28}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．解决（1）小题的关键是证明OD∥AC．