Question

2．如图，在矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，AD=4，点E是BC边上一个动点，连接AE，作DF⊥AE于点F，当BE的长为2或2$\sqrt{2}$或4-2$\sqrt{2}$时，△CDF是等腰三角形．

Answer 1

分析 过点C作CM⊥DF，垂足为点M，判断△CDF是等腰三角形，要分类讨论，①CF=CD；②DF=DC；③FD=FC，根据相似三角形的性质进行求解．

解答 解：①CF=CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M，
则CM∥AE，DM=MF，（1分）
延长CM交AD于点G，
∴AG=GD=2，
∴CE=2，
∴当BE=2时，△CDF是等腰三角形；
②DF=DC时，则DF=DC=AB=2$\sqrt{2}$，
∵DF⊥AE，AD=2，
∴∠DAE=45°，
则BE=2$\sqrt{2}$，
∴当BE=2$\sqrt{2}$时，△CDF是等腰三角形；
③FD=FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点．
∵AB=2$\sqrt{2}$，BE=x，
∴AE=$\sqrt{8+{x}^{2}}$，
AF=$\frac{\sqrt{8+{x}^{2}}}{2}$，
∵△ADF∽△EAB，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AF}{EB}$，即$\frac{4}{\sqrt{8+{x}^{2}}}=\frac{\frac{\sqrt{8{+x}^{2}}}{2}}{x}$，
解得：x=4-2$\sqrt{2}$或x=4+2$\sqrt{2}$（舍去）；
∴当BE=4-2$\sqrt{2}$时，△CDF是等腰三角形．
综上，当BE=2或2$\sqrt{2}$或4-2$\sqrt{2}$ 时，△CDF是等腰三角形．
故答案为：2或2$\sqrt{2}$或4-2$\sqrt{2}$．

点评 此题难度比较大，主要考查矩形的性质、相似三角形的性质及等腰三角形的判定，考查知识点比较多，综合性比较强，另外要注意辅助线的作法．