Question

14．已知二次函数y=ax²+bx+c+2（a，b，c 为常数，且a≠0）的图象如图所示，其顶点坐标为（1，0）．有下列结论：
①a＞2；②b²-4ac＞0；③4a+2b+c＞0；④若点（x₁，y₁）和点（x₂，y₂）都在该二次函数的图象上，当0＜x₁＜x₂时，有y₁＜y₂．
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据二次函数y=ax²+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，可得△=0，即b²-4a（c+2）=0，b²-4ac=8a＞0，据此解答即可判断②；根据对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=1，可得b=-2a，然后根据b²-4ac=8a，确定出a的取值范围即可判断①；根据对称轴是x=1，而且x=0时，y＞2，可得x=2时，y＞2，据此即可判断③；根据二次函数的性质即可判断④．

解答 解：∵二次函数y=ax²+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，
∴△=0，
即b²-4a（c+2）=0，
∴b²-4ac=8a＞0，
∴结论②正确；
∵对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴b=-2a，
∵b²-4ac=8a，
∴4a²-4ac=8a，
∴a=c+2，
∵c＞0，
∴a＞2，
∴结论①正确；
∵对称轴是x=1，而且x=0时，y＞2，
∴x=2时，y＞2，
∴4a+2b+c+2＞2，
∴4a+2b+c＞0．
∴结论③正确．
若点（x₁，y₁）和点（x₂，y₂）都在该二次函数的图象上，当1＜x₁＜x₂时，则y₁＜y₂；当0＜x₁＜x₂＜1时，有y₁＞y₂．
∴结论④错误．
综上，可得
正确结论的个数是3个：①②③．
故选：C．

点评 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．